Este destul de dificil să convenim asupra stabilirii corecte a prețului oricăror active tranzacționabile, chiar și în prezent. De aceea prețurile acțiunilor se mențin constant în continuă schimbare. În realitate, compania își schimba greu evaluarea pe o bază zilnică, dar prețul acțiunilor și evaluarea sa se schimba fiecare secundă. Acest lucru arată dificilă obținerea unui consens privind prețul actual pentru orice activ comercializabil, ceea ce conduce la oportunități de arbitraj. Cu toate acestea, aceste oportunități de arbitraj sunt foarte scurte.

Totul se reduce la evaluarea actuală - care este prețul actual actual de astăzi pentru o plată viitoare așteptată?

Pe o piață concurențială, pentru a evita oportunitățile de arbitraj, activele cu structuri de remunerație identice trebuie să aibă același preț. Evaluarea opțiunilor a reprezentat o sarcină dificilă și s-au observat variații mari ale prețurilor, ceea ce a dus la oportunități de arbitraj. Black-Scholes rămâne unul dintre cele mai populare modele utilizate pentru opțiunile de stabilire a prețurilor, dar are propriile limitări. (Pentru informații suplimentare, consultați: Opțiuni prețuri ). Opțiunea binomică a modelului de tarifare a opțiunilor este o altă metodă populară utilizată pentru opțiunile de tarifare. Acest articol prezintă câteva exemple detaliate pas cu pas și explică conceptul neutru de risc în aplicarea acestui model. (Pentru citirea aferentă, consultați: Înlăturarea modelului binomial pentru a evalua o opțiune ).

Acest articol presupune familiarizarea utilizatorului cu opțiunile și conceptele și termenii aferenți.

Să presupunem că există o opțiune de cumpărare pentru un anumit stoc al cărui preț de piață curent este de 100 USD. Opțiunea ATM are un preț de lansare de 100 USD, cu o perioadă de expirare de un an. Există doi comercianți, Peter și Paul, care sunt de acord că prețul acțiunilor se va ridica la 110 USD sau va scădea la 90 de dolari într-un an. Ambii sunt de acord asupra nivelurilor de preț așteptate într-un interval de timp dat de un an, dar nu sunt de acord cu privire la probabilitatea mutării în sus (și în jos). Peter consideră că probabilitatea ca prețul acțiunilor să fie de 110 $ este de 60%, în timp ce Paul crede că este de 40%.

Pe baza celor de mai sus, cine ar fi dispus să plătească mai mult preț pentru opțiunea de cumpărare?

Probabil Peter, deoarece se așteaptă o mare probabilitate de mutare în sus.

Să vedem calculele pentru a verifica și înțelege acest lucru. Cele două active pe care depinde evaluarea sunt opțiunea de cumpărare și stocul suport. Există un acord între participanți potrivit căruia prețul de bază al acțiunilor se poate deplasa de la 100 de dolari în prezent la 110 $ sau 90 $ într-un an și nu există alte mișcări de preț posibile.

Într-o lume fără arbitraj, dacă trebuie să creăm un portofoliu care să cuprindă aceste două active (opțiunea de cumpărare și stocul de bază) astfel încât, indiferent de locul unde se află prețul subiacent (110 $ sau 90 $) rămâne la fel.Să presupunem că achiziționăm acțiuni "d" ale opțiunii de bază de bază și scurtă pentru a crea acest portofoliu.

În cazul în care prețul ajunge la 110 USD, acțiunile noastre vor fi în valoare de 110 $ * d și vom pierde 10 $ pentru plățile de apeluri scurte. Valoarea netă a portofoliului nostru va fi (110d - 10).

Dacă prețul scade până la 90 $, acțiunile noastre vor fi în valoare de 90 $ * d, iar opțiunea va expira fără valoare. Valoarea netă a portofoliului nostru va fi (90d).

Dacă dorim ca valoarea portofoliului nostru să rămână neschimbată, indiferent de locul în care se află prețul de bază al acțiunilor, atunci valoarea portofoliului nostru ar trebui să rămână aceeași în ambele cazuri, i. e. :

=> (110d - 10) = 90d

=> d = 1

i. e. dacă achiziționăm o jumătate de acțiune (presupunând că sunt posibile cumpărări fracționare), vom reuși să creăm un portofoliu astfel încât valoarea sa să rămână aceeași în ambele state posibile în intervalul de timp dat de un an. (punctul 1)

Această valoare a portofoliului, indicată prin (90d) sau (110d -10) = 45, este de un an în jos. Pentru a calcula valoarea sa actuală, aceasta poate fi redusă prin rata de rentabilitate fără risc (presupunând 5%).

=> 90d * exp (-5% * 1 an) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => Valoarea actualizată a portofoliului

cu prețul de piață $ 100) și un apel scurt, acesta ar trebui să fie egal cu valoarea actuală calculată mai sus i. e.

=> 1/2 * 100 - 1 * prețul apelului = 42. 85

=> Prețul apelului = 7 $. 14 i. e. prețul apelului de astăzi.

Deoarece se bazează pe ipoteza de mai sus că valoarea portofoliului rămâne aceeași, indiferent de modul în care se află prețul de bază (punctul 1 de mai sus), probabilitatea de mutare în sus sau în jos nu joacă niciun rol aici. Portofoliul rămâne fără riscuri, indiferent de mișcările de preț subiacente.

În ambele cazuri (presupunând că suntem în mișcare până la 110 $ și în jos deplasăm la 90 $), portofoliul nostru este neutru față de risc și câștigă rata de rentabilitate fără risc.

Astfel, atât comercianții, Peter și Paul, vor fi dispuși să plătească aceleași 7 $. 14 pentru această opțiune de apel, indiferent de propria percepție diferită a probabilităților de mișcare ascendentă (60% și 40%). Probabilitățile lor percepute individual nu joacă nici un rol în evaluarea opțiunilor, după cum se vede din exemplul de mai sus.

Dacă presupunem că există probabilități individuale, atunci ar fi existat oportunități de arbitraj. În lumea reală, astfel de oportunități de arbitraj există cu diferențe de preț mici și dispar într-un termen scurt.

Dar unde este volatilitatea în toate aceste calcule, care este un factor important (și cel mai sensibil) care afectează prețul opțiunilor?

Volatilitatea este deja inclusă de natura definiției problemei. Amintiți-vă că asumăm două (și numai două - și, prin urmare, denumirea "binomială") niveluri de prețuri (110 $ și 90 $). Volatilitatea este implicită în această ipoteză și, prin urmare, este inclusă în mod automat - 10% în orice fel (în acest exemplu).

Acum să facem un control de sănătate pentru a vedea dacă abordarea noastră este corectă și coerentă cu prețurile Black-Scholes utilizate în mod obișnuit. (Vezi: Modelul de evaluare a opțiunilor Black-Scholes ).

Iată capturile de ecran ale rezultatelor calculatorului de opțiuni (prin amabilitatea OIC), care se potrivește strâns cu valoarea noastră calculată.

Din păcate, lumea reală nu este la fel de simplă ca "doar două state". Există mai multe niveluri de prețuri care pot fi atinse de stoc până la expirarea termenului.

Este posibil să includeți toate aceste niveluri multiple în modelul binomial de stabilire a prețurilor, care este limitat la numai două niveluri? Da, este foarte posibil și, pentru ao înțelege, să intrăm în matematică simplă.

Câteva pași de calcul intermediari sunt ignorați pentru a păstra rezumatul și concentrarea asupra rezultatelor.

Pentru a continua, să generalizăm această problemă și soluția:

"X" este prețul de piață curent al stocului și "X * u" și "X * d" sunt prețurile viitoare pentru mișcările sus-jos ' ani mai tarziu. Factorul "u" ​​va fi mai mare de 1, indicând mutarea în sus și "d" va fi între 0 și 1. Pentru exemplul de mai sus, u = 1. 1 și d = 0. 9.

Plățile opțiunii de apel sunt "P _{în sus} " și "P _dn 'pentru mișcările în sus și în jos, la expirare.

Dacă construim un portofoliu de acțiuni "s" achiziționate astăzi și o scurtă opțiune de apelare, atunci după timpul 't':

Valoarea portofoliului în cazul mutării în sus = s * X * u - P < _{Valoarea portofoliului în cazul deplasării în jos = s * X * d - P}

dn _{Pentru o evaluare similară în oricare dintre cazurile de deplasare a prețului,}

în sus

= s * X * d - P _dn => )) = nr. din acțiuni la achiziționarea pentru portofoliul fără risc _{Valoarea viitoare a portofoliului la sfârșitul anilor 't' va fi}

În cazul mutării în sus = s * X * u - P _(P pana _{- P} dn

) / (X (ud)) * X * u - P

pana _{cu rata de rentabilitate fără risc:} Aceasta ar trebui să se potrivească cu cea a portofoliului de acțiuni "s" la prețul X și a valorii scurte a apelului "c" i. e. deținerea curentă a zilei (s * X - c) ar trebui să fie egală cu cea de mai sus. Rezolvarea pentru c dă în sfârșit c după cum urmează: _{DACĂ SCURTĂ PREMIUL CALL trebuie să fie adăugat la portofoliu, fără subtracție.} O altă modalitate de a scrie ecuația de mai sus este aceea de a rearanja aceasta după cum urmează: _{Împreună cu q ca} atunci ecuația de mai sus devine _{Rearanjarea ecuației în termenii "q" a oferit o nouă perspectivă.}

"q" poate fi acum interpretată ca probabilitatea deplasării în sus a substratului ("q" este asociat cu P

în sus

și 1-q este asociat cu P

). În ansamblu, ecuația de mai sus reprezintă prețul de opțiune actual de i. e. valoarea actualizată a plății sale la expirare.

Cum este această probabilitate "q" diferită de probabilitatea deplasării sau deplasării în sus a subiacentei?

Valoarea prețului acțiunilor la momentul t = q * X * u + (1-q) * X * d

. e. în această lume asumată de două state, prețul stocului se ridică pur și simplu prin rata de rentabilitate fără risc, i. e. exact ca un activ fără risc și, prin urmare, rămâne independent de orice risc.Toți investitorii sunt indiferenți față de risc în cadrul acestui model, iar acesta reprezintă modelul neutru la risc. _{Probabilitatea "q" și "(1-q)" sunt cunoscute ca probabilități neutre la risc, iar metoda de evaluare este cunoscută ca model de evaluare a riscului neutru.} Exemplul de mai sus are o cerință importantă - structura viitoarei plăți este necesară cu precizie (nivel de 110 $ și 90 $). În viața reală, nu este posibilă o astfel de claritate cu privire la nivelurile prețurilor bazate pe pas; mai degrabă prețul se mută la întâmplare și se poate rezolva la mai multe nivele. _{Să extindem exemplul în continuare. Să presupunem că sunt posibile două niveluri de preț. (T = 1) se poate realiza folosind câștigurile finale la etapa a doua (t = 2), iar apoi folosind această evaluare a primului pas (t = 1), evaluarea actuală (t = 0) poate fi atinsă folosind calculele de mai sus.} Pentru a obține prețuri opționale la nr. 2, se folosesc plăți la 4 și 5. Pentru a obține prețuri pentru nr. 3, sunt utilizate plățile la 5 și 6. În cele din urmă, plățile calculate la 2 și 3 sunt folosite pentru a obține prețuri la nr. 1.

Rețineți că exemplul nostru presupune același factor pentru mutarea în sus (și jos) în ambele etape - u (și d) sunt aplicate în mod compuse.

Iată un exemplu de lucru cu calculele:

Să presupunem că o opțiune de vânzare cu prețul de lansare de 110 $ tranzacționează în prezent la 100 $ și expiră într-un an. Rata anuală fără risc este de 5%. Prețul este așteptat să crească cu 20% și să scadă cu 15% la fiecare șase luni.

Să structurăm problema:

Aici, u = 1. 2 și d = 0,85, X = 100, t = 0. 5

folosind formula de mai sus

, obținem valoarea q = 0. 35802832

valoarea opțiunii put la punctul 2,

La P

* 1. 2 * 1. 2 = 144 dolari conducând la P

upup

= zero

La condiția P

updn

, subiacentă va fi = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102 conducând la P

updn

= $ 8

La condiția P _dndn , subiacentă va fi = 100 * 0. 85 * 0. 85 = 72 $. 25 conducând la P _dndn = 37 $. 75

p ₂ = 0. 975309912 * (0,35802832 * 0 + (1-0,35802832) * 8) = 5.008970741 _{> = 0. 975309912 * (0. 35802832 * 8 + (1-0. 35802832) * 37.75) = 26. 42958924} Și, prin urmare, valoarea opțiunii put, p

1 _{= 0. 975309912 * (0,35802832 * 5. 008970741 + (1-0,35802832) * 26. 42958924) =} $ 18. 29. _{În mod similar, modelele binomiale permit o întrerupere a întregii durate a opțiunii pentru a continua etapele / nivelurile multiple. Folosind programe de calculator sau foi de calcul puteți lucra înapoi cu câte un pas la un moment dat, pentru a obține valoarea actuală a opțiunii dorite.} Să încheiem cu încă un exemplu care implică trei pași pentru evaluarea opțiunii binomiale:

Să presupunem că există o opțiune de tip de tip european, având o durată de expirare de 9 luni cu un preț de lansare de 12 USD și un preț de bază la 10 USD. Să presupunem o rată fără risc de 5% pentru toate perioadele. Să presupunem la fiecare 3 luni, prețul subiacent se poate deplasa cu 20% în sus sau în jos, oferindu-ne u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. 25 și 3 trepte binomiale. _{Cifrele roșii indică prețurile subiacente, în timp ce cele în albastru indică opțiunea de rentabilitate.} Probabilitatea de neutralitate a riscului q calculează la 0. 531446.

Valorile corespunzătoare la t = 6 luni se calculează astfel: _{Utilizând valoarea de mai sus a valorii q și a salariilor la t = 9 luni, valorile calculate la t = 6, valorile la t = 3 și apoi la t = 0 sunt: ​​} oferind valoarea curentă a opțiunii put ca $ 2. 18, care este destul de aproape de cel calculat folosind modelul Black-Scholes ($ 2 .3)

Linia de fund _{Deși utilizarea programelor de calculator poate face multe dintre aceste calcule intense ușor, predicția prețurilor viitoare rămâne o limitare majoră a modelelor binomiale pentru stabilirea prețurilor la opțiuni. Cu cât intervalele de timp sunt mai fine, cu atât mai dificilă este obținerea exactă a plăților la sfârșitul fiecărei perioade. Cu toate acestea, flexibilitatea de a încorpora modificările așteptate la diferite perioade de timp este un plus adăugat, ceea ce o face adecvată pentru stabilirea prețurilor la opțiunile americane, inclusiv evaluările timpurii ale exercițiilor. Valorile calculate folosind modelul binomial se potrivesc cu cele calculate de alte modele utilizate în mod obișnuit, cum ar fi Black-Scholes, care indică utilitatea și precizia modelelor binomiale pentru stabilirea prețurilor opțiunilor. Modelele binomiale de stabilire a prețurilor pot fi dezvoltate în funcție de preferințele unui comerciant și funcționează ca o alternativă la Black-Scholes.}