Monte Carlo Simulation Cu GBM

Una dintre cele mai comune metode de estimare a riscului este utilizarea unei simulări Monte Carlo (MCS). De exemplu, pentru a calcula valoarea de risc (VaR) a unui portofoliu, putem rula o simulare Monte Carlo care încearcă să prezică cea mai slabă pierdere probabilă pentru un portofoliu, dată fiind un interval de încredere într-un orizont de timp specificat - trebuie întotdeauna să specificăm două condiții pentru VaR: încredere și orizont. (Pentru citirea aferentă, consultați Utilizările și limitele volatilității și Introducere la valoarea la risc (VAR) - Partea 1 și

În acest articol, vom examina un MCS de bază aplicat la un preț al acțiunilor. Avem nevoie de un model pentru a specifica comportamentul prețului acțiunilor și vom folosi unul dintre cele mai comune modele în finanțe: mișcarea geometrică Brownian (GBM). Prin urmare, în timp ce simularea lui Monte Carlo se poate referi la un univers de abordări diferite de simulare, vom începe aici cu cele mai elementare.

Unde să începeți

Simularea unui Monte Carlo este o încercare de a anticipa viitorul de mai multe ori. La sfârșitul simulării, mii sau milioane de "trialuri aleatorii" produc o distribuție a rezultatelor care pot fi analizate. Pașii de bază sunt:

1. Specificați un model (de exemplu, mișcare geometrică Brownian)

2. Generați teste aleatorii

3. Procesați rezultatul
1. Specificați un model
(de exemplu, GBM)

În acest articol vom folosi mișcarea geometrică Brownian (GBM), care este un proces Markov din punct de vedere tehnic. Aceasta înseamnă că prețul acțiunilor urmează o plimbare aleatorie și este în concordanță cu (cel puțin) forma slabă a ipotezei pieței eficiente (EMH): informațiile despre prețurile trecute sunt deja incluse, iar următoarea mișcare a prețurilor este "dependentă în mod condiționat" mișcările de prețuri. (Pentru mai multe despre EMH, citiți Lucrând prin ipoteza pieței eficiente
și Ce este eficiența pieței? )

Formula pentru GBM este descrisă mai jos, unde "S" este prețul acțiunilor, "m" (grecul mu) este randamentul așteptat, "s" (sigma greacă) din întoarce, "t" este timp, iar "e" (epsilon grecesc) este variabila aleatoare:

Dacă rearanjăm formula pentru a rezolva doar pentru schimbarea prețului acțiunilor, vedem că GMB spune că schimbarea prețului acțiunilor este prețul acțiunilor "S" înmulțit cu cei doi termeni găsiți în interiorul parantezei de mai jos:

Primul termen este un "drift", iar al doilea termen este un "șoc". Pentru fiecare perioadă de timp, modelul nostru presupune că prețul va "aluneca" în sus cu randamentul așteptat. Dar driftul va fi șocat (adăugat sau scăzut) de șocuri aleatorii. Șocul aleatoriu va fi deviația standard "s" înmulțită cu un număr aleatoriu "e". Aceasta este pur și simplu o modalitate de reducere a deviației standard.

Aceasta este esența GBM, așa cum este ilustrat în Figura 1. Prețul acțiunilor urmează o serie de pași, în care fiecare pas este un drift plus / minus un șoc aleatoriu (el însuși funcție de deviația standard a stocului): > Figura 1

2.Generați încercări aleatorii

Înarmate cu o specificație de model, vom proceda apoi pentru a rula încercări aleatorii. Pentru a ilustra, am folosit Microsoft Excel pentru a rula 40 de studii. Rețineți că aceasta este o mostră nerealistă mică; cele mai multe simulări sau "sims" rulează cel puțin câteva mii de procese.

În acest caz, să presupunem că acțiunea începe în ziua zero cu un preț de 10 USD. Iată o diagramă a rezultatului în care fiecare pas (sau interval) este o zi și seria este executată timp de zece zile (în rezumat: patruzeci de încercări cu pași zilnici în decurs de zece zile):

Figura 2: Propunerea geometrică Brownian > Rezultatul este patruzeci de prețuri ale acțiunilor simulate la sfârșitul celor 10 zile. Nici unul nu sa întâmplat să scadă sub 9 dolari, iar unul este de peste 11 dolari. 3. Procesați rezultatul

Simularea a produs o distribuție a rezultatelor viitoare ipotetice. Am putea face mai multe lucruri cu ieșirea. Dacă, de exemplu, vrem să estimați VaR cu o încredere de 95%, atunci trebuie doar să găsim rezultatul clasat pe treizeci și opt (cel de-al treilea rezultat cel mai rău). Asta pentru că 2/40 este egal cu 5%, deci cele două cele mai grave rezultate sunt în cele mai mici 5%.

Dacă stivuim rezultatele ilustrate în recipiente (fiecare coș este de o treime de $ 1, deci trei coșuri acoperă intervalul de la 9 $ la 10 $), vom obține următoarea histogramă:

Figura 3

Amintiți-vă că modelul GBM își asumă normalitatea: randamentele de preț sunt în mod normal distribuite cu randamentul așteptat (media) "m" și abaterea standard "s". Interesant este că histograma noastră nu arată normal. De fapt, cu mai multe încercări, nu va avea tendința spre normalitate. În schimb, va avea tendința spre o distribuție lognormală: o scădere bruscă spre stânga mediei și o "coadă lungă" foarte înclinată spre dreapta mijlocului. Acest lucru duce adesea la o dinamică potențial confuză pentru elevii pentru prima dată: Prețurile

returnează

sunt distribuite în mod normal.

Prețurile

nivelurile sunt log distribuite în mod normal. Gândiți-vă în acest fel: un stoc poate reveni în sus sau în jos cu 5% sau 10%, dar după o anumită perioadă de timp, prețul acțiunilor nu poate fi negativ. Mai mult, creșterile de preț pe partea superioară au un efect de comprimare, în timp ce scăderea prețurilor pe partea inferioară reduce baza: pierdeți 10% și aveți mai puțin de pierdut data viitoare. Iată o diagramă a distribuției lognormale suprapusă pe ipotezele noastre ilustrate (de exemplu, prețul de pornire de 10 $):
Figura 4 Rezumat Simularea unui model Monte Carlo aplică un model selectat (un model care specifică comportamentul unui instrument) într-un set mare de teste aleatorii în încercarea de a produce un set plauzibil de posibile rezultate viitoare. În ceea ce privește simularea prețurilor acțiunilor, modelul cel mai comun este mișcarea geometrică Brownian (GBM). GBM presupune că un drift constant este însoțit de șocuri aleatorii. În timp ce perioadele de returnare în cadrul GBM sunt distribuite în mod normal, nivelurile de prețuri în mai multe perioade (de exemplu, zece zile) sunt distribuite în mod logar.

Consultați tutorialul filmului lui David Harper,